Präpositionalobjekt
Ein Präpositionalobjekt kann repräsentiert werden durch einen präpositionalen Ausdruck, einen Gliedsatz, einen Infinitiv mit "zu", ein Pronominaladverb.
Das Präpositionalobjekt lässt sich vom Verb her nur mit seiner Präposition erfragen, z.B. »Auf wen / worauf? hoffst du?«
Der Akkusativ von »wen« spielt keine Rolle, denn er hängt von »auf« und nicht von »hoffen« ab. Die Antwort ist aber auch nicht »lokal« zu verstehen, hat also nichts mit einem Adverbiale zu tun!
Beispiele: Zur Unterscheidung zwischen Adverbiale und Präpositionalobjekt: Die Präposition an, welche schon im Beispielsatz vorkam, lässt sich nicht vermeiden! Es liegt vor also ein Präpositionalobjekt vor! Das Wörtchen an lässt sich vermeiden, ein einfaches Fragewort genügt.
Es liegt also ein [Lokal-]Adverbiale vor! Hingegen liegt wiederum ein Präpositionalobjekt vor,  wenn es heißt: Er schrieb einen Brief an den Direktor.

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